GEOMETRI PROPOSISI 15 - 21

Proposisi 15

Jika dua garis lurus saling memotong satu sama lain maka garis tersebut membuat sudut yang berlawanan secara vertikal sama dengan satu sama lain. Untuk membiarkan dua garis lurus AB dan CD memotong satu sama lain pada titik E. maka sudut AEC sama dengan (sudut) DEB, dan (sudut) EB C sampai (sudut) AED.

Karena sejak garis lurus AE terletak pada garis lurus C D, membuat sudut C EA dan AED,maka jumlah dari sudut C EA dan AED sama dengan dua sudut kanan. Sekali lagi, karena garis lurus DE terletak pada garis lurus AB, membuat sudut AED dan DEB, jumlah sudut AED dan DEB sama dengan dua sudut. Tapi jumlah sudut  CEA dan AED juga ditunjukkan sama dengan dua sudut kanan. Jadi, jumlah sudut CEA dan AED sama dengan (jumlah) AED dan DEB. Biarkan AED dikurangkan dari keduanya. Dengan demikian, sisa CEA sama dengan sisa BED. Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa C EB dan DEA juga sama.

Proposition 16

Untuk setiap segitiga ketika salah satu sisi yang dihasilkan maka sudut eksternal lebih besar dari masing-masing sudut internal dan berlawanan.Biarkan ABC menjadi segitiga, dan biarkan salah satu sisinya BC telah diproduksi ke D. Saya katakan bahwa sudut eksternal AC D lebih besar daripada masing-masing sudut internal dan berlawanan, C BA dan BAC. Garis  lurus AC dipotong setengahnya pada titik E. Dan BE sedang bergabung, biarkan produk itu diproduksi secara lurus ke (titik) F. † Dan biarkan EF dibuat sama dengan BE, dan biarkan F C telah bergabung, dan biarkan AC ditarik ke (titik) G.

Oleh karena itu, AE sama dengan EC, dan BE ke EF, dua (garis lurus) AE, EB masing-masing sama dengan dua (garis lurus) C E, EF. Juga, sudut AEB sama dengan sudut F EC, karena (berlawanan) berlawanan secara vertikal [Prop. 1,15]. Jadi, basis AB sama dengan basis F C, dan segitiga ABE sama dengan segitiga F EC, dan sudut yang tersisa yang disisipkan oleh sisi yang sama sama dengan sudut yang tersisa yang sesuai [Prop. 1.4]. Jadi, BAE sama dengan EC F. Tapi EC D lebih besar dari EC F. Dengan demikian, AC D lebih besar dari BAE. Demikian pula, dengan memotong BC menjadi dua, dapat ditunjukkan (bahwa) BC G-artinya, AC D- (juga) lebih besar dari ABC.

Jadi, untuk setiap segitiga, ketika salah satu sisi dihasilkan, sudut eksternal lebih besar dari masing-masing sudut internal dan berlawanan.

Proposition 17

Untuk setiap segitiga, jumlah dua sudut yang diambil untuk mendapatkan dengan cara apapun kurang dari dua sudut kanan.

Biarkan ABC menjadi segitiga. Saya mengatakan bahwa (jumlah) dua sudut segitiga ABC yang disatukan dalam cara apapun (mungkin) kurang dari dua sudut kanan.

Untuk membiarkan BC ditarik ke D.

Dan karena sudut AC D berada di luar segitiga ABC,

Menyebabkan sudutnya ebih besar dari sudut internal dan berlawanan ABC

Biarkan AC B ditambahkan ke keduanya. Demikian,

(jumlah sudut) AC D dan AC B lebih besar dari

(jumlah sudut) ABC dan BC A. Tapi, (jumlah dari)

AC D dan AC B sama dengan dua sudut kanan [Prop. 1,13].

Jadi, (jumlah) ABC dan BC A kurang dari dua hak, Sudut. Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa (jumlah) BAC dan AC B juga kurang dari dua sudut kanan, dan selanjutnya bahwa jumlah C AB dan ABC kurang dari dua sudut kanan. Jadi, untuk setiap segitiga, jumlah dua sudut yang diambil bersama dengan cara apapun (mungkin) kurang dari dua hak-sudut.

Proposition 18

Dalam setiap segitiga, sisi yang lebih besar bergantung pada sudut yang lebih besar.

Untuk membiarkan ABC menjadi segitiga yang memiliki sisi AC lebih besar dari AB. Maka dapat saya katakan bahwa sudut ABC juga lebih besar dari SM A.

Karena sejak AC lebih besar dari AB, misalkan AD dibuat sama dengan AB dan biarkan BD telah bergabung.

Dan karena sudut ADB berada di luar segitiga BC D, itu lebih besar dari pada internal dan berlawanan sudut DC B.Tapi ADB sama dengan ABD, karena sisi AB juga sama dengan sisi AD. Jadi, ABD juga lebih besar dari AC B. Jadi, ABC jauh lebih besar dari AC B.

Jadi, dalam segitiga mana pun, sisi yang lebih besar menyiratkan sudut yang lebih besar.

Proposisi 19

Dalam setiap segitiga, sudut yang lebih besar tergantung pada sisi yang lebih besar. Misalkan ABC adalah segitiga yang memiliki sudut ABC lebih besar dari BC A. Saya katakan sisi AC juga lebih besar dari sisi AB. Sebab jika tidak, AC tentu sama dengan, atau kurang dari, AB. Padahal, AC tidak sama dengan AB. Untuk kemudian sudut ABC juga sama dengan AC B. Tapi tidak. Dengan demikian, AC tidak sama dengan AB. Baik, memang, AC kurang dari AB. Untuk kemudian sudut ABC juga akan kurang dari AC B [Prop. 1.18]. Tapi tidak. Dengan demikian, AC tidak kalah dari AB. Tapi ternyata itu (AC) tidak sama (dengan AB). Jadi, AC lebih besar dari AB.

Jadi, dalam setiap segitiga, sudut yang lebih besar disamakan oleh sisi yang lebih besar.

Proposition 20

Dalam setiap segitiga, (jumlah) dua sisi yang diambil untuk masuk dengan cara apapun (mungkin) lebih besar daripada yang tersisa (sisi).

Untuk membiarkan ABC menjadi segitiga. Saya katakan bahwa dalam segitiga ABC (jumlah) dua sisi yang disatukan dalam cara apapun (mungkin) lebih besar dari pada yang tersisa (sisi). (Jadi), (jumlah) BA dan AC (lebih besar) dari BC, (jumlah) AB dan BC dari AC, dan (jumlah) BC dan C A dari AB.

Agar BA ditarik ke titik D, dan biarkan AD dibuat sama dengan C A [Prop. 1.3], dan biarkan DC bergabung.

Oleh karena itu, karena DA sama dengan AC, ADC sudut juga sama dengan AC D [Prop. 1.5]. Dengan demikian, BC D lebih besar dari ADC. Dan karena DC B adalah segitiga yang memiliki sudut BC D lebih besar dari BDC, dan sudut yang lebih besar mendekati sisi yang lebih besar [Prop. 1,19], DB lebih besar dari BC. Tapi DA sama dengan AC. Jadi, (jumlah) BA dan AC lebih besar dari SM. Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa (jumlah) AB dan BC juga lebih besar dari C A, dan (jumlah) BC dan C A daripada AB.

Jadi, dalam setiap segitiga, (jumlah) dua sisi yang diambil untuk masuk dengan cara apapun (mungkin) lebih besar daripada yang tersisa (sisi).

Proposition 21

Jika dua garis lurus internal dibangun di salah satu sisi segitiga, dari ujungnya, garis lurus yang dibangun akan kurang dari dua sisi segitiga yang tersisa, namun akan mencakup sudut yang lebih besar.

Karena membiarkan dua garis lurus internal BD dan DC telah dibangun di salah satu sisi SM dari ABC sudut-tri, dari ujungnya B dan C (masing-masing). Saya mengatakan bahwa BD dan DC kurang dari (jumlah) dua sisi belakang dari segitiga BA dan AC, namun mencakup sudut BDC yang lebih besar dari BAC.

Karena membiarkan BD ditarik ke E. Dan karena dalam segitiga (jumlah apapun) dua sisi lebih besar dari pada yang tersisa (sisi) [Prop. 1,20], dalam segitiga ABE (jumlah dari) dua sisi AB dan AE lebih besar dari pada BE. Biarkan EC ditambahkan ke keduanya. Jadi, (jumlah) BA dan AC lebih besar dari (jumlah) BE dan EC. Sekali lagi, karena pada segitiga C ED (jumlah dari) dua sisi C E dan ED lebih besar dari C D, misalkan DB telah ditambahkan ke keduanya. Jadi, (jumlah) C E dan EB lebih besar dari (jumlah) C D dan DB. Tapi, (jumlah) BA dan AC ditunjukkan (menjadi) lebih besar dari (jumlah) BE dan EC. Jadi, (jumlah) BA dan AC jauh lebih besar daripada (jumlah) BD dan DC.

Sekali lagi, karena pada setiap segitiga sudut eksternal lebih besar dari pada internal dan berlawanan (sudut) [Prop. 1,16], pada segitiga C DE sudut luar BDC dengan demikian lebih besar dari C ED. Dengan demikian, untuk hal yang sama (alasan), sudut eksternal C EB dari segitiga ABE juga lebih besar dari BAC. Tapi, BDC ditunjukkan (menjadi) lebih besar dari C EB. Jadi, BDC jauh lebih besar dari BAC.

Jadi, jika dua garis lurus internal dibangun di salah satu sisi segitiga, dari ujungnya, garis lurus yang terstruktur (kurang lurus) kurang dari dua sisi segitiga yang tersisa, namun mencakup sudut yang lebih besar. . (Mana) hal yang harus ditunjukkan.

Read More

Sejarah Aljabar

1.     Latar Belakang

Aljabar merupakan bagian dari ilmu matematika yang berhubungan dengan himpunan dan sifat struktur-struktur di dalamnya. Struktur aljabar merupakan topik yang fundamental dalam matematika sehingga menarik untuk dipelajari. Suatu struktur aljabar merupakan himpunan tidak kosong dengan satu atau lebih operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu .

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang mereka sendiri.

Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas.

Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran ini.

Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar.

Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah, maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang didapat dari perahan sapi adalah sebanyak 9 liter, berapakah sapi yang dimiliki peternakan itu?

Segelintir pertanyaan di atas hanyalah sedikit dari banyaknya permasalahan atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswa bisa lebih terpacu dalam mengerjakan soal-soal aljabar.

Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran matematika satu per satu.

Ilmu aljabar abstrak berkembang dengan pesat karena penerapan karakteristik dari bentuk-bentuk struktur aljabar tersebut banyak bermanfaat dalam pengembangan metode penyelesaian masalah yang bersifat abstrak.

1.               Sejarah  Aljabar

Penemu Aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (780-846 M). Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.

Tokoh yang bernama lengkap Abu Ja’far Muhammad bin Musa Al-Khwarizmi ini merupakan intelektual arab yang banyak menyumbangkan karyanya di bidang matematika dan dari buku terbitan pertamanyalah lahir kata Aljabar. Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari penyerdehanaan dan pemecahan masalah dengan menggunakan “simbol” sebagai pengganti konstanta dan variabel.

Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari penyerdehanaan dan pemecahan masalah dengan menggunakan “simbol” sebagai pengganti konstanta dan variable.

                                      Gambar 1

Ini adalah salah satu halaman dari buku aljabar AL-Khwarizmi yang berjudul kitab al-jabr wal-muqobala ditulis sekitar tahun 825. Gambar di atas di ambil dari halaman 15 buku Al-Khwarizmi dan kemudian iterjemahkan oleh Frederic Rosen dalam bukunya The Algebra of Muhammed ben Musa yang juga diterbitkan kembali dalam Islamic Mathematics and Astronomy di fakultas sejarah sains Islam-Arab pada Universitas Goethe.

Pada gambar di atas Al-Khwarizmi membuktikan persamaan kuadrat berbentuk x² +bx = c. Dimana x² simbol dari luas area bujur sangkar ditengah yang tidak diketahui berapa panjang sisinya. Kemudian masing-masing kotak di samping mempunyai lebar  lalu jumlah luas bujursangkar ditengah plus ke-4 kotak disamping adalah c, dan jumlah luas semua kotak adalah x² + bx + (b²)/4 = (x+b/2) ², dan ini sama dengan c + (b²)/4. Solusi dari persamaan kemudian terjawab.

Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.

3.         Asal Mula Aljabar

Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid’s Elements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.

Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab “al-jabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”), yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.

Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti  oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility)

Tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik secara garis besar adalah sebagai berikut:

1.      Aljabar Retorik (Rhetorical algebra), yang dikembangkan oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai dengan abad ke-16;

2.      Aljabar yang dikontruksi secara Geometri, yang dikembangkan oleh Matematikawan Vedic India dan Yunani Kuno;

3.      Syncopated algebra, yang dikembangkan oleh Diophantus dan dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan

4.      Aljabar simbolik (Symbolic algebra), yang titik puncaknya adalah pada karya Leibniz.

4.         Tokoh- Tokoh Pengembang Aljabar

Adapun tokoh- tokoh pengembang aljabar sebagai berikut:

1.      Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, Ia adalah yang pertama kali yang mencetus Al-Jabar dalam bukunya dengan judul “Al-kitab al-jabr wa-l-Muqabala” kitab ini merupakan karya yang sangat monumental pada abad ke-9 M. ia merupakan seorang ahli matematika dari Persia yang dilahirkan pada tahun 194 H/780 M, tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan.

2.       Al-Qalasadi dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak ternilai. Ia sang matematikus Muslim di abad ke-15, kalau tanpa dia boleh jadi dunia dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu hitung. Sejarang mencatat, al Qalasadi merupakan salah seorang matematikus Muslim yang berjasa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh Ibnu al-Banna kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi, al-Qalasadi memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan menggunakan karakter dari alphabet Arab.

Ia menggunakan wa yang berarti “dan” untuk penambahan (+), untuk pngurangan (-), al-Qalasadi menggunakan illa berarti “kurang”. Sedangkan untuk perkalian (x), ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Simbol ala yang berarti ”bagi” digunakan untuk pembegian (/).

3.      Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 Desember 1792 – 24 Februari 1856) adalah matematikawan Rusia. Ia terutama dikenal sebagai orang yang mengembangkan geometri non-Euclides (independen dari hasil karya János Bolyai) yang diumumkannya pada 23 Februari 1826, serta metode hampiran akar persamaan aljabar yang dikenal dengan nama Metode Dandelin-Gräffe

4.      Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī (1135-1213) adalah matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-Din mengajar berbagai topik matematika, astronomi dan yang terkait, seperti bilangan, tabel astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa makalah tentang aljabar. Dia memberikan metode yang kemudian dinamakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk menghampiri akar persamaan kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah digunakan oleh para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari sebuah bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama kali yang menerapkan metode ini untuk memecahkan persamaan umum jenis ini. Dalam Al-Mu’adalat (Tentang Persamaan), al-Tusi menemukan solusi aljabar dan numerik dari persamaan kubik dan yang pertama kali menemukan turunan polinomial kubik, hasil yang penting dalam kalkulus diferensial

5.      Omar Khayyam, ilmuwan yang berasal dari Persia ini membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik.

6.       Kowa Seki ilmuwan yang berasal dari Jepang pada abad 17, ia mengambangkan tentang determinan.

7.      Robert Recorde adalah seorang yang memperkenalkan tanda “=” yang terdapat dalam bukunya yang berjudul “The Whetstone of Witte” pada tahun 1557.

5.         Klasifikasi Dari Aljabar

Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:

1.      Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan Aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol.(bidang ini juga mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah yaitu ‘Intermediate Algebra’ dan ‘college algebra’). Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, -, x, ) muncul juga dalam aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan symbol (seperti a, x, y, ). Hal ini sangat penting sebab: hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sitem bilangan riil.Dengan menggunakan symbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variable yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x+1=10”) . Hal ini juga mengijinkan kita untukmembuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda mnjual x tiket, kemudian anda mendapat untung 3x -10 rupiah, dapat dituliskan sebagaif(x) = 3x – 10, dimana f adalah fungsi dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja”)

2.      Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;

3.      Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);

4.      Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.

5.      Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis.

Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.

6.         Manfaat Belajar Aljabar

1.      Aplikasi Aljabar bagi siswa

Tentu saja, manfaat aplikasi Aljabar bagi para pelajar adalah agar nilai ulangan Matematika tidak jatuh saat diberi soal Aljabar. Dan sebagai tambahan nilai untuk nilai kelulusan.

Selain itu, manfaat aplikasi Aljabar yang sering diterapkan siswa adalah untuk memanajemen uang saku yang diberikan orang tua tiap minggu. Contoh penerapan aljabar dalam hal ini sebagai berikut:

Misalnya, uang saku kita sebesar Rp 70.000,00 setiap minggu. Karena setiap hari Selasa dan Rabu ada pelajaran tambahan, serta hari Jumat ada kegiatan ekstra kurikuler pada pukul 14.20 WIB sedangkan setelah pulang sekolah kita tidak pulang dahulu (langsung lanjut belajar tambahan) maka dibutuhkan uang makan + uang jajan sebesar Rp 10.000,00. Nah, kita kebingungan menentukan uang saku setiap hari selain Selasa, Rabu, dan Jum’at selama satu minggu jika dalam satu minggu itu kita ingin menabung uang sebesar Rp 25.000,00. Dengan bantuan aljabar kita dapat menentukan uang saku kita per hari.

Cara mengerjakan menggunakan Aljabar:

Kita anggap uang saku kita per hari (selain Selasa, Rabu, dan Jumat karena sudah ada jatahnya, yaitu Rp 10.000,00) dengan x. Maka,

Rp 70.000 = (uang saku 1 minggu)

Rp 25.000 = (uang tabungan selama 1 minggu)

70.000 – 25.000 = (3 X 10.000) + 1(6x -3x)

Rp 45.000 = Rp 30.000 + 1(3x)

Rp 45.000 = Rp 30.000 + 3x

Rp 45.000 – Rp 30.000 = 3x

Rp 15.000 = 3x

x = Rp 15.000/3

x = Rp 5.000

{Mengapa (3 X 10.000)? 3 berasal dari Hari Selasa, Rabu, dan Jumat dalam satu Minggu. Berarti kan ada 3 hari}

{Mengapa 1(6x – 3x)? 1 berasal dari 1 minggu sedangkan 6x – 3x berasal dari 6 hari dalam satu Minggu kecuali Minggu karena libur, dikurangi 3 hari (Selasa, Rabu, dan Jumat karena telah dijatah)}

Jadi, uang saku per hari yang kita gunakan selain Selasa, Rabu, dan Jumat (sekali lagi karena telah dijatah) dan selain Minggu (karena libur) maksimal sebesar Rp 5.000,00. Tidak boleh lebih tetapi boleh kurang (hehe, sebagai tambahan tabungan). Boleh lebih tetapi harus konsekuen, yaitu mengurangi jatah uang saku di hari berikutnya. Intinya silakan diatur sendiri ya uang saku dari ortu, latihan jadi menteri keuangan untuk diri sendiri.

2.        Aplikasi Aljabar bagi Ibu Rumah Tangga

Manfaat aplikasi Aljabar bagi Ibu Rumah Tangga adalah untuk memanajemen uang gaji, uang saku anak, uang sekolah anak, dll. Contoh memanajemen uang bagi Ibu Rumah Tangga adalah sebagai berikut:

Seorang Ibu setiap bulan mendapat gaji sebesar Rp 2.000.000,00. Ia diberi uang tambahan dari suaminya sebesar Rp 4.000.000,00 per bulan. Dibutuhkan Rp 1.000.000,00 untuk uang belanja per bulan. Uang kesehatan Rp 500.000,00 dan uang sekolah total dari ke-2 anaknya sebesar Rp 3.000.000,00. Sang Ibu bingung, berapa uang saku perorangan yang harus ia berikan untuk kedua anaknya tiap minggu tetapi uang per bulannya harus masih tersisa Rp 1.000.000,00 untuk ditabung. Jika Ibu itu pintar Aljabar maka Ibu itu dapat menentukan uang saku tersebut secara tepat, tapi jika tidak? Hemm… silakan dibayangkan sendiri sesuai imajinasi masing-masing ya…

Cara mengerjakan menggunakan Aljabar:

Kita anggap uang saku setiap anak per minggu sebagai x

(2.000.000 + 4.000.000) – 1.000.000 = 1.000.000 + 500.000 + 3.000.000 + (4 X 2x)

6.000.000 – 1.000.000 = 4.500.000 + (8x)

5.000.000 = 4.500.000 + 8x

5.000.000 – 4.500.000 = 8x

500.000 = 8x

x = 500.000/8

x = 62.500

{Mengapa (4 X 2x) karena 1 bulan = 4 minggu dan 2x itu adalah uang saku 2 orang anak}.

Jadi, uang saku setiap anak dalam waktu seminggu adalah Rp 62.500,00. Dengan matematika dan sistem Aljabar, cukup simple kan?

3.        Aplikasi Aljabar bagi para Pedagang.

Aljabar dapat membantu pedagang untuk menghitung besar kecil keuntungan atau kerugian yang dapat diperolehnya, dan dapat menentukan besar modal yang dibutuhkan. Contoh penerapan Aljabar dalam kehidupan pedagang adalah sebagai berikut:

Seorang pedagang pempek membeli 5 kg ikan giling dengan harga Rp 60.000,00. Dengan 5 kg ikan giling tersebut dapat dibuat menjadi 10 buah pempek kapal selam. Pedagang itu ingin laba tiap pempek tersebut sebesar Rp 2.000,00. Maka berapa harga jualnya? Jika pedagang itu pandai Matematika, pasti akan mudah mengetahuinya, sebaliknya, jika tidak, apa yang akan terjadi? Bisa dibayangkan sendiri segala kemungkinan yang akan terjadi dalam angan masing-masing…

Cara mengerjakan menggunakan sistem Aljabar:

Kita anggap harga jual pempek itu sebagai x.

Maka diperoleh:

x = (60.000/10) + 2.000

x = 6.000 + 2.000

x = 8.000

Jadi, harga jual yang bisa diterapkan agar laba satu pempek Rp 2.000 adalah sebesar Rp 8.000,00. Dengan Matematika dan aplikasi Aljabar, sangat simple kan?

Selamat belajar dan lebih mengakrabkan diri dengan Matematika. Make Mathematics part of our life. Karena Matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita, salah satunya melalui pengaplikasian Aljabar dalam kehidupan sehari-hari.

7.         Kesimpulan

Penemu Aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. Aljabar berasaldari BahasaArab“aljabar”yangberarti “pertemuan”, “hubungan”atau“perampungan” adalah cabang  matematika  yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.

8.         Saran

Penulis menyadari bahwa makalah ini tidaklah sempurna. Maka dari itu penulis menyarankankepada pembaca memberikan masukan yang lebih baik, guna terciptanya makalah yang lebih baik lagi.

Read More