Sistem persamaan linear dua variabel

PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA VARIABEL

1. Sejarah Persamaan linear dua variabel

Diophantus dan Persamaan Linear Dua Variable

Persamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus juga dikenal dengan julukan “bapak dari aljabar”. Namun julukan itu kemudian disandang oleh Al-Khawarizmi tentunya.

Semasa hidupnya Diophantus terkenal dengan karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan – persamaan tersebut dikenal sebagai Dionphantine Equation (Persamaan Diophantine).

Persamaan  Diophantine merupakaan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier , bisa kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.

Bentuk paling sederhananya diberikan oleh :

ax + by = c                                                    

2. Penyelesaian Persamaan linear dua variabel menggunakan metode substitusi

Contoh :

1.  tentukan himpunan penyelesaian dari  y = x + 5 dan y = 3x – 7

Penyelesaian :

y = x + 5                                    .....  (persamaan I )

y = 3x – 7                                  ...... (persamaan II )

Kita substitusikan pers I ke persamaan II

y = 3x – 7

x + 5     = 3x – 7

x – 3x   = -7 – 5

     -2x   = - 12

        x    = -12 / -2

        x    = 6

Kita substitusikan x = 6 ke persamaan 1

y = x + 5

y = 6 + 5

y  = 11

 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(6,11)}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut

y = x + 5 dan 2x + y = 17

Penyelesaian :

 y= x + 5                                   ........ ( Persamaan I  )

2x + y = 17                                ........ ( Persamaan II )

 Kita substitusikan persamaan I ke persamaan II

2x + y = 17

2x + x + 5  = 17

             3x  = 17 – 5

             3x  = 12

               x  = 12 /3

                x = 4

kita substitusi x = 4 ke persamaan  I

 y = x + 5

 y = 4 + 5

 y = 9

jadi himpunan penyelesaianya {( 4,9)}

3. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Menggunakan Metode Eliminasi

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari  x – y = 7 dan x + y = 5

Penyelesaian :