GEOMETRI PROPOSISI 15 - 21

Proposisi 15

Jika dua garis lurus saling memotong satu sama lain maka garis tersebut membuat sudut yang berlawanan secara vertikal sama dengan satu sama lain. Untuk membiarkan dua garis lurus AB dan CD memotong satu sama lain pada titik E. maka sudut AEC sama dengan (sudut) DEB, dan (sudut) EB C sampai (sudut) AED.

Karena sejak garis lurus AE terletak pada garis lurus C D, membuat sudut C EA dan AED,maka jumlah dari sudut C EA dan AED sama dengan dua sudut kanan. Sekali lagi, karena garis lurus DE terletak pada garis lurus AB, membuat sudut AED dan DEB, jumlah sudut AED dan DEB sama dengan dua sudut. Tapi jumlah sudut  CEA dan AED juga ditunjukkan sama dengan dua sudut kanan. Jadi, jumlah sudut CEA dan AED sama dengan (jumlah) AED dan DEB. Biarkan AED dikurangkan dari keduanya. Dengan demikian, sisa CEA sama dengan sisa BED. Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa C EB dan DEA juga sama.

Proposition 16

Untuk setiap segitiga ketika salah satu sisi yang dihasilkan maka sudut eksternal lebih besar dari masing-masing sudut internal dan berlawanan.Biarkan ABC menjadi segitiga, dan biarkan salah satu sisinya BC telah diproduksi ke D. Saya katakan bahwa sudut eksternal AC D lebih besar daripada masing-masing sudut internal dan berlawanan, C BA dan BAC. Garis  lurus AC dipotong setengahnya pada titik E. Dan BE sedang bergabung, biarkan produk itu diproduksi secara lurus ke (titik) F. † Dan biarkan EF dibuat sama dengan BE, dan biarkan F C telah bergabung, dan biarkan AC ditarik ke (titik) G.

Oleh karena itu, AE sama dengan EC, dan BE ke EF, dua (garis lurus) AE, EB masing-masing sama dengan dua (garis lurus) C E, EF. Juga, sudut AEB sama dengan sudut F EC, karena (berlawanan) berlawanan secara vertikal [Prop. 1,15]. Jadi, basis AB sama dengan basis F C, dan segitiga ABE sama dengan segitiga F EC, dan sudut yang tersisa yang disisipkan oleh sisi yang sama sama dengan sudut yang tersisa yang sesuai [Prop. 1.4]. Jadi, BAE sama dengan EC F. Tapi EC D lebih besar dari EC F. Dengan demikian, AC D lebih besar dari BAE. Demikian pula, dengan memotong BC menjadi dua, dapat ditunjukkan (bahwa) BC G-artinya, AC D- (juga) lebih besar dari ABC.

Jadi, untuk setiap segitiga, ketika salah satu sisi dihasilkan, sudut eksternal lebih besar dari masing-masing sudut internal dan berlawanan.

Proposition 17

Untuk setiap segitiga, jumlah dua sudut yang diambil untuk mendapatkan dengan cara apapun kurang dari dua sudut kanan.

Biarkan ABC menjadi segitiga. Saya mengatakan bahwa (jumlah) dua sudut segitiga ABC yang disatukan dalam cara apapun (mungkin) kurang dari dua sudut kanan.

Untuk membiarkan BC ditarik ke D.

Dan karena sudut AC D berada di luar segitiga ABC,

Menyebabkan sudutnya ebih besar dari sudut internal dan berlawanan ABC

Biarkan AC B ditambahkan ke keduanya. Demikian,

(jumlah sudut) AC D dan AC B lebih besar dari

(jumlah sudut) ABC dan BC A. Tapi, (jumlah dari)

AC D dan AC B sama dengan dua sudut kanan [Prop. 1,13].

Jadi, (jumlah) ABC dan BC A kurang dari dua hak, Sudut. Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa (jumlah) BAC dan AC B juga kurang dari dua sudut kanan, dan selanjutnya bahwa jumlah C AB dan ABC kurang dari dua sudut kanan. Jadi, untuk setiap segitiga, jumlah dua sudut yang diambil bersama dengan cara apapun (mungkin) kurang dari dua hak-sudut.

Proposition 18

Dalam setiap segitiga, sisi yang lebih besar bergantung pada sudut yang lebih besar.

Untuk membiarkan ABC menjadi segitiga yang memiliki sisi AC lebih besar dari AB. Maka dapat saya katakan bahwa sudut ABC juga lebih besar dari SM A.

Karena sejak AC lebih besar dari AB, misalkan AD dibuat sama dengan AB dan biarkan BD telah bergabung.

Dan karena sudut ADB berada di luar segitiga BC D, itu lebih besar dari pada internal dan berlawanan sudut DC B.Tapi ADB sama dengan ABD, karena sisi AB juga sama dengan sisi AD. Jadi, ABD juga lebih besar dari AC B. Jadi, ABC jauh lebih besar dari AC B.

Jadi, dalam segitiga mana pun, sisi yang lebih besar menyiratkan sudut yang lebih besar.

Proposisi 19

Dalam setiap segitiga, sudut yang lebih besar tergantung pada sisi yang lebih besar. Misalkan ABC adalah segitiga yang memiliki sudut ABC lebih besar dari BC A. Saya katakan sisi AC juga lebih besar dari sisi AB. Sebab jika tidak, AC tentu sama dengan, atau kurang dari, AB. Padahal, AC tidak sama dengan AB. Untuk kemudian sudut ABC juga sama dengan AC B. Tapi tidak. Dengan demikian, AC tidak sama dengan AB. Baik, memang, AC kurang dari AB. Untuk kemudian sudut ABC juga akan kurang dari AC B [Prop. 1.18]. Tapi tidak. Dengan demikian, AC tidak kalah dari AB. Tapi ternyata itu (AC) tidak sama (dengan AB). Jadi, AC lebih besar dari AB.

Jadi, dalam setiap segitiga, sudut yang lebih besar disamakan oleh sisi yang lebih besar.

Proposition 20

Dalam setiap segitiga, (jumlah) dua sisi yang diambil untuk masuk dengan cara apapun (mungkin) lebih besar daripada yang tersisa (sisi).

Untuk membiarkan ABC menjadi segitiga. Saya katakan bahwa dalam segitiga ABC (jumlah) dua sisi yang disatukan dalam cara apapun (mungkin) lebih besar dari pada yang tersisa (sisi). (Jadi), (jumlah) BA dan AC (lebih besar) dari BC, (jumlah) AB dan BC dari AC, dan (jumlah) BC dan C A dari AB.

Agar BA ditarik ke titik D, dan biarkan AD dibuat sama dengan C A [Prop. 1.3], dan biarkan DC bergabung.

Oleh karena itu, karena DA sama dengan AC, ADC sudut juga sama dengan AC D [Prop. 1.5]. Dengan demikian, BC D lebih besar dari ADC. Dan karena DC B adalah segitiga yang memiliki sudut BC D lebih besar dari BDC, dan sudut yang lebih besar mendekati sisi yang lebih besar [Prop. 1,19], DB lebih besar dari BC. Tapi DA sama dengan AC. Jadi, (jumlah) BA dan AC lebih besar dari SM. Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa (jumlah) AB dan BC juga lebih besar dari C A, dan (jumlah) BC dan C A daripada AB.

Jadi, dalam setiap segitiga, (jumlah) dua sisi yang diambil untuk masuk dengan cara apapun (mungkin) lebih besar daripada yang tersisa (sisi).

Proposition 21

Jika dua garis lurus internal dibangun di salah satu sisi segitiga, dari ujungnya, garis lurus yang dibangun akan kurang dari dua sisi segitiga yang tersisa, namun akan mencakup sudut yang lebih besar.

Karena membiarkan dua garis lurus internal BD dan DC telah dibangun di salah satu sisi SM dari ABC sudut-tri, dari ujungnya B dan C (masing-masing). Saya mengatakan bahwa BD dan DC kurang dari (jumlah) dua sisi belakang dari segitiga BA dan AC, namun mencakup sudut BDC yang lebih besar dari BAC.

Karena membiarkan BD ditarik ke E. Dan karena dalam segitiga (jumlah apapun) dua sisi lebih besar dari pada yang tersisa (sisi) [Prop. 1,20], dalam segitiga ABE (jumlah dari) dua sisi AB dan AE lebih besar dari pada BE. Biarkan EC ditambahkan ke keduanya. Jadi, (jumlah) BA dan AC lebih besar dari (jumlah) BE dan EC. Sekali lagi, karena pada segitiga C ED (jumlah dari) dua sisi C E dan ED lebih besar dari C D, misalkan DB telah ditambahkan ke keduanya. Jadi, (jumlah) C E dan EB lebih besar dari (jumlah) C D dan DB. Tapi, (jumlah) BA dan AC ditunjukkan (menjadi) lebih besar dari (jumlah) BE dan EC. Jadi, (jumlah) BA dan AC jauh lebih besar daripada (jumlah) BD dan DC.

Sekali lagi, karena pada setiap segitiga sudut eksternal lebih besar dari pada internal dan berlawanan (sudut) [Prop. 1,16], pada segitiga C DE sudut luar BDC dengan demikian lebih besar dari C ED. Dengan demikian, untuk hal yang sama (alasan), sudut eksternal C EB dari segitiga ABE juga lebih besar dari BAC. Tapi, BDC ditunjukkan (menjadi) lebih besar dari C EB. Jadi, BDC jauh lebih besar dari BAC.

Jadi, jika dua garis lurus internal dibangun di salah satu sisi segitiga, dari ujungnya, garis lurus yang terstruktur (kurang lurus) kurang dari dua sisi segitiga yang tersisa, namun mencakup sudut yang lebih besar. . (Mana) hal yang harus ditunjukkan.