Sistem persamaan linear dua variabel

PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA VARIABEL

1. Sejarah Persamaan linear dua variabel

Diophantus dan Persamaan Linear Dua Variable

Persamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus juga dikenal dengan julukan “bapak dari aljabar”. Namun julukan itu kemudian disandang oleh Al-Khawarizmi tentunya.

Semasa hidupnya Diophantus terkenal dengan karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan – persamaan tersebut dikenal sebagai Dionphantine Equation (Persamaan Diophantine).

Persamaan  Diophantine merupakaan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier , bisa kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.

Bentuk paling sederhananya diberikan oleh :

ax + by = c                                                    

2. Penyelesaian Persamaan linear dua variabel menggunakan metode substitusi

Contoh :

1.  tentukan himpunan penyelesaian dari  y = x + 5 dan y = 3x – 7

Penyelesaian :

y = x + 5                                    .....  (persamaan I )

y = 3x – 7                                  ...... (persamaan II )

Kita substitusikan pers I ke persamaan II

y = 3x – 7

x + 5     = 3x – 7

x – 3x   = -7 – 5

     -2x   = - 12

        x    = -12 / -2

        x    = 6

Kita substitusikan x = 6 ke persamaan 1

y = x + 5

y = 6 + 5

y  = 11

 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(6,11)}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut

y = x + 5 dan 2x + y = 17

Penyelesaian :

 y= x + 5                                   ........ ( Persamaan I  )

2x + y = 17                                ........ ( Persamaan II )

 Kita substitusikan persamaan I ke persamaan II

2x + y = 17

2x + x + 5  = 17

             3x  = 17 – 5

             3x  = 12

               x  = 12 /3

                x = 4

kita substitusi x = 4 ke persamaan  I

 y = x + 5

 y = 4 + 5

 y = 9

jadi himpunan penyelesaianya {( 4,9)}

3. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Menggunakan Metode Eliminasi

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari  x – y = 7 dan x + y = 5

Penyelesaian :

                                                    

Read More

SEJARAH BILANGAN PECAHAN

SEJARAH PECAHAN

1. Sejarah Pecahan

Pecahan pertama kali muncul sekitar tahun 1600 B.C. di sebuah peninggalan Mesir kuno, Egyptian papyrus. Uniknya, pada saat itu masyarakat Mesir kuno hanya mengenal pecahan satuan, unit fraction, yang dinyatakan sebagai 1/n, dengan n adalah bilangan bulat positif, misalnya 1/2, 1/3, dan 1/7 (pembilangnya selalu 1). Pengecualian dengan 2/3 mereka memiliki lambang tersendiri.

Egyptian Papyrus

            Masyarakat Mesir kuno pada saat itu menggunakan penulisan bilangan yang berbeda dari bilangan yang kita gunakan sekarang. Mereka memiliki simbol untuk menuliskan bilangan. Misalnya 3 disimbolkan sebagai tiga buah garis horizontal, |||. Berikut ini adalah beberapa contoh penulisan bilangan pecahan dari sebuah Egyptian papyrus.

Gambar di atas berarti 1/5

Gambar di atas berarti 1/3 + 1/15.

Setiap pecahan (pecahan satuan) disimbolkan dengan simbol ellipse di atas bilangan yang merupakan nilai penyebutnya (istilah pembilang, atau numerator, dan penyebut, atau denominator, pada saat itu belum dikenal). Simbol orang dengan kaki yang menghadap ke depan di atas berarti menjumlahkan bilangan sebelum simbol dengan bilangan setelahnya. Sementara jika kaki menghadap ke belakang, berarti mengurang bilangan sebelumnya dengan bilangan setelahnya. Bangsa Mesir pada tahun 1800 SM menuliskan sistem bilangan berbasis 10 dengan hieroglip seperti yang ditulis berikut.

Bangsa Romawi kuno menyatakan pecahan sebagai suatu bagian dari keseluruhan dengan menggunakan kata-kata. Mereka menggunakan sebuah satuan berat yang disebut “as”. Salah satunya “as” yang digunakan adalah 12 uncia, sehingga pecahan merupakan seperduabelas. contoh lainnya adalah:

Bangsa Babylonia juga mengembangkan sistem bilangan pecahan yang tidak mudah dituliskan. Sementara bangsa Babilonia lewat batu bertulis atau loh telah menunjukkan penggunaan bilangan pecahan hingga pada penarikan akar. Penulisan pecahan bangsa Babilonia telah menggunakan nilai tempat. Baru pada sekitar 500M bangsa India mengembangkan sistem bilangan yang disebut brahmi, yang memiliki sembilan simbol dan nol. Karena terjadi perdagangan dengan bagsa Arab, maka numerasinya tersebar hingga di Arab pada masa yang sama. Simbol berikut menyatakan bilangan-bilangan brahmi seperti yang dikenal sekarang.

Pelambangan dan perhitungan dengan pecahan berkembang dari India. Penulisan pecahan desimal yang mendasari pecahan desimal kita sekarang juga berasal dari India. Brahmagupta yang lahir di Sind (kini Pakistan) dalam Brahmasphutasiddhanta menjelaskan tentang penulisan dan perhitungan bilangan pecahan, hanya belum benar-benar persis seperti yang kita gunakan. Ia dan juga matematikawan India lainnya menyatakan pecahan tanpa garis mendatar yang memisahkan pembilang dan penyebut. Brahmagupta, menyimbolkan pecahan  7/15 sebagai berikut :

tanpa menggunakan garis horizontal. Walaupun perhitungan pecahannya sudah berdasarkan nilai tempat (desimal) tetapi belum menggunakan penulisan desimal seperti yang kita pakai. Lalu kemudian, mathematicians dari Arab mulai menyimbolkan pecahan seperti bentuk pecahan yang kita kenal sekarang. Istilah pembilang (numerator) dan penyebut denominator) mulai dikenal dari seorang penulis Latin.

Di Cina dapat kita lihat pada Jiuzhang Suanshu atau sering diterjemahkan The Nine Chapter on The Mathematical Arts (sembilan bab tentang seni matematika) juga telah menggunakan nilai tempat untuk pecahan, bahkan menggunakan ide tentang Kelipatan Persekutuan terkecil. Penggunaan ide pecahan desimal sendiri diawali pada dinasti Shang (sekitar 1800 hingga 1100 SM). Ada yang menyebutkan bahwa al-Qalasadi (1412-1486) yang pertama menulis tanda garis horizontal di antara pembilang dan penyebut. Sementara Jeff Miller menyebut nama al-Hassar (abad ke-12). Sedangkan pemakaian pecahan desimal berikut cara perhitungannya yang signifikan terdapat pada karya dari al-Kasyi (k.1380-1429), Miftah al-Hisab (Kunci Perhitungan). Hal ini pertama kali diungkapkan oleh P. Luckey tahun 1948. Sebelumnya sering disebut bahwa penemu pecahan desimal adalah Simon Stevin (1548-620), yang menulis La Disme tahun 1585, padahal Francçis Viéte (1540-1603) sendiri sebelumnya telah menulis tentang pecahan desimal. Sekarang telah banyak diakui bahwa al-Kasyi adalah penemu pecahan desimal.Walaupun demikian, dasar-dasarnya telah diperkenalkan sebelumnya terutama di perguruan yang didirikan oleh al-Karaji atau al-Karkhi (k.953-k.1019 atau 1029), khususnya al-Samawal (1125-1180). Al-Kasyi sendiri belum menggunakan tanda koma untuk pecahan desimal, tetapi menggunakan tanda berupa kata sha (sebuah huruf arab) antara bilangan bulat dan bagian pecahan desimalnya. 

 Sumber :

https://tatagyes.com/2017/09/07/sejarah-pecahan/

Haza’a, Salah Kaduri dkk.2003.Sejarah Matematika Klasik dan Modern.Yogyakarta.UAD PRESS

Wikipedia. “Bilangan Mesir Kuno”. 9 Maret 2015.  https://www.wikipedia.org.id

Read More

Bilangan

BILANGAN

A. Macam-macam Bilangan

1. Bilangan Bulat

            Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan 0 (nol), dan bilangan bulat negatif.

Contoh :

... , -5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5, ...

2. Bilangan Cacah

            Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

Contoh :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

3. Bilangan Asli

            Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga.

Contoh :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

4. Bilangan Prima

            Bilangan prima adalah bilangan asli yang tepat mempunyai 2 (dua) faktor, yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

 5. Bilangan Rasional

            Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian dari dua bilangan bulat

Contoh :

 ,  ,

6. Bilangan Irrasional

            Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat.

Contoh :

 ,  , log 8, ...

7. Bilangan Real

            Bilangan Real adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Contoh :  ,  , ....

8. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah bilangan negatif di bawah tanda akar.

Contoh :

 ,  , ...

9. Bilangan Kompleks

            Bilangan Kompleks adalah bilangan yang terdiri atas bilangan nyata dan bilangan imajiner (khayalan).

Contoh :

3 +  , 2 +

10. Bilangan Komposit

            Bilangan Komposit adalah bilangan cacah yang bukan 0 (nol) , bukan 1 (satu), dan bukan bilangan prima.

Contoh :

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ....   BILANGAN

A. Macam-macam Bilangan

1. Bilangan Bulat

            Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan 0 (nol), dan bilangan bulat negatif.

Contoh :

... , -5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5, ...

2. Bilangan Cacah

            Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

Contoh :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

3. Bilangan Asli

            Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga.

Contoh :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

4. Bilangan Prima

            Bilangan prima adalah bilangan asli yang tepat mempunyai 2 (dua) faktor, yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

 5. Bilangan Rasional

            Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian dari dua bilangan bulat

Contoh :

 ,  ,

6. Bilangan Irrasional

            Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat.

Contoh :

 ,  , log 8, ...

7. Bilangan Real

            Bilangan Real adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Contoh :  ,  , ....

8. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah bilangan negatif di bawah tanda akar.

Contoh :

 ,  , ...

9. Bilangan Kompleks

            Bilangan Kompleks adalah bilangan yang terdiri atas bilangan nyata dan bilangan imajiner (khayalan).

Contoh :

3 +  , 2 +

10. Bilangan Komposit

            Bilangan Komposit adalah bilangan cacah yang bukan 0 (nol) , bukan 1 (satu), dan bukan bilangan prima.

Contoh :

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ....    

Read More