SEJARAH BILANGAN PECAHAN

SEJARAH PECAHAN

1. Sejarah Pecahan

Pecahan pertama kali muncul sekitar tahun 1600 B.C. di sebuah peninggalan Mesir kuno, Egyptian papyrus. Uniknya, pada saat itu masyarakat Mesir kuno hanya mengenal pecahan satuan, unit fraction, yang dinyatakan sebagai 1/n, dengan n adalah bilangan bulat positif, misalnya 1/2, 1/3, dan 1/7 (pembilangnya selalu 1). Pengecualian dengan 2/3 mereka memiliki lambang tersendiri.

Egyptian Papyrus

            Masyarakat Mesir kuno pada saat itu menggunakan penulisan bilangan yang berbeda dari bilangan yang kita gunakan sekarang. Mereka memiliki simbol untuk menuliskan bilangan. Misalnya 3 disimbolkan sebagai tiga buah garis horizontal, |||. Berikut ini adalah beberapa contoh penulisan bilangan pecahan dari sebuah Egyptian papyrus.

Gambar di atas berarti 1/5

Gambar di atas berarti 1/3 + 1/15.

Setiap pecahan (pecahan satuan) disimbolkan dengan simbol ellipse di atas bilangan yang merupakan nilai penyebutnya (istilah pembilang, atau numerator, dan penyebut, atau denominator, pada saat itu belum dikenal). Simbol orang dengan kaki yang menghadap ke depan di atas berarti menjumlahkan bilangan sebelum simbol dengan bilangan setelahnya. Sementara jika kaki menghadap ke belakang, berarti mengurang bilangan sebelumnya dengan bilangan setelahnya. Bangsa Mesir pada tahun 1800 SM menuliskan sistem bilangan berbasis 10 dengan hieroglip seperti yang ditulis berikut.

Bangsa Romawi kuno menyatakan pecahan sebagai suatu bagian dari keseluruhan dengan menggunakan kata-kata. Mereka menggunakan sebuah satuan berat yang disebut “as”. Salah satunya “as” yang digunakan adalah 12 uncia, sehingga pecahan merupakan seperduabelas. contoh lainnya adalah:

Bangsa Babylonia juga mengembangkan sistem bilangan pecahan yang tidak mudah dituliskan. Sementara bangsa Babilonia lewat batu bertulis atau loh telah menunjukkan penggunaan bilangan pecahan hingga pada penarikan akar. Penulisan pecahan bangsa Babilonia telah menggunakan nilai tempat. Baru pada sekitar 500M bangsa India mengembangkan sistem bilangan yang disebut brahmi, yang memiliki sembilan simbol dan nol. Karena terjadi perdagangan dengan bagsa Arab, maka numerasinya tersebar hingga di Arab pada masa yang sama. Simbol berikut menyatakan bilangan-bilangan brahmi seperti yang dikenal sekarang.

Pelambangan dan perhitungan dengan pecahan berkembang dari India. Penulisan pecahan desimal yang mendasari pecahan desimal kita sekarang juga berasal dari India. Brahmagupta yang lahir di Sind (kini Pakistan) dalam Brahmasphutasiddhanta menjelaskan tentang penulisan dan perhitungan bilangan pecahan, hanya belum benar-benar persis seperti yang kita gunakan. Ia dan juga matematikawan India lainnya menyatakan pecahan tanpa garis mendatar yang memisahkan pembilang dan penyebut. Brahmagupta, menyimbolkan pecahan  7/15 sebagai berikut :

tanpa menggunakan garis horizontal. Walaupun perhitungan pecahannya sudah berdasarkan nilai tempat (desimal) tetapi belum menggunakan penulisan desimal seperti yang kita pakai. Lalu kemudian, mathematicians dari Arab mulai menyimbolkan pecahan seperti bentuk pecahan yang kita kenal sekarang. Istilah pembilang (numerator) dan penyebut denominator) mulai dikenal dari seorang penulis Latin.

Di Cina dapat kita lihat pada Jiuzhang Suanshu atau sering diterjemahkan The Nine Chapter on The Mathematical Arts (sembilan bab tentang seni matematika) juga telah menggunakan nilai tempat untuk pecahan, bahkan menggunakan ide tentang Kelipatan Persekutuan terkecil. Penggunaan ide pecahan desimal sendiri diawali pada dinasti Shang (sekitar 1800 hingga 1100 SM). Ada yang menyebutkan bahwa al-Qalasadi (1412-1486) yang pertama menulis tanda garis horizontal di antara pembilang dan penyebut. Sementara Jeff Miller menyebut nama al-Hassar (abad ke-12). Sedangkan pemakaian pecahan desimal berikut cara perhitungannya yang signifikan terdapat pada karya dari al-Kasyi (k.1380-1429), Miftah al-Hisab (Kunci Perhitungan). Hal ini pertama kali diungkapkan oleh P. Luckey tahun 1948. Sebelumnya sering disebut bahwa penemu pecahan desimal adalah Simon Stevin (1548-620), yang menulis La Disme tahun 1585, padahal Francçis Viéte (1540-1603) sendiri sebelumnya telah menulis tentang pecahan desimal. Sekarang telah banyak diakui bahwa al-Kasyi adalah penemu pecahan desimal.Walaupun demikian, dasar-dasarnya telah diperkenalkan sebelumnya terutama di perguruan yang didirikan oleh al-Karaji atau al-Karkhi (k.953-k.1019 atau 1029), khususnya al-Samawal (1125-1180). Al-Kasyi sendiri belum menggunakan tanda koma untuk pecahan desimal, tetapi menggunakan tanda berupa kata sha (sebuah huruf arab) antara bilangan bulat dan bagian pecahan desimalnya. 

 Sumber :

https://tatagyes.com/2017/09/07/sejarah-pecahan/

Haza’a, Salah Kaduri dkk.2003.Sejarah Matematika Klasik dan Modern.Yogyakarta.UAD PRESS

Wikipedia. “Bilangan Mesir Kuno”. 9 Maret 2015.  https://www.wikipedia.org.id

Read More

Bilangan

BILANGAN

A. Macam-macam Bilangan

1. Bilangan Bulat

            Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan 0 (nol), dan bilangan bulat negatif.

Contoh :

... , -5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5, ...

2. Bilangan Cacah

            Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

Contoh :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

3. Bilangan Asli

            Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga.

Contoh :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

4. Bilangan Prima

            Bilangan prima adalah bilangan asli yang tepat mempunyai 2 (dua) faktor, yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

 5. Bilangan Rasional

            Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian dari dua bilangan bulat

Contoh :

 ,  ,

6. Bilangan Irrasional

            Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat.

Contoh :

 ,  , log 8, ...

7. Bilangan Real

            Bilangan Real adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Contoh :  ,  , ....

8. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah bilangan negatif di bawah tanda akar.

Contoh :

 ,  , ...

9. Bilangan Kompleks

            Bilangan Kompleks adalah bilangan yang terdiri atas bilangan nyata dan bilangan imajiner (khayalan).

Contoh :

3 +  , 2 +

10. Bilangan Komposit

            Bilangan Komposit adalah bilangan cacah yang bukan 0 (nol) , bukan 1 (satu), dan bukan bilangan prima.

Contoh :

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ....   BILANGAN

A. Macam-macam Bilangan

1. Bilangan Bulat

            Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan 0 (nol), dan bilangan bulat negatif.

Contoh :

... , -5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5, ...

2. Bilangan Cacah

            Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

Contoh :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

3. Bilangan Asli

            Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga.

Contoh :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

4. Bilangan Prima

            Bilangan prima adalah bilangan asli yang tepat mempunyai 2 (dua) faktor, yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

 5. Bilangan Rasional

            Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian dari dua bilangan bulat

Contoh :

 ,  ,

6. Bilangan Irrasional

            Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat.

Contoh :

 ,  , log 8, ...

7. Bilangan Real

            Bilangan Real adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Contoh :  ,  , ....

8. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah bilangan negatif di bawah tanda akar.

Contoh :

 ,  , ...

9. Bilangan Kompleks

            Bilangan Kompleks adalah bilangan yang terdiri atas bilangan nyata dan bilangan imajiner (khayalan).

Contoh :

3 +  , 2 +

10. Bilangan Komposit

            Bilangan Komposit adalah bilangan cacah yang bukan 0 (nol) , bukan 1 (satu), dan bukan bilangan prima.

Contoh :

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ....    

Read More

GEOMETRI PROPOSISI 15 - 21

Proposisi 15

Jika dua garis lurus saling memotong satu sama lain maka garis tersebut membuat sudut yang berlawanan secara vertikal sama dengan satu sama lain. Untuk membiarkan dua garis lurus AB dan CD memotong satu sama lain pada titik E. maka sudut AEC sama dengan (sudut) DEB, dan (sudut) EB C sampai (sudut) AED.

Karena sejak garis lurus AE terletak pada garis lurus C D, membuat sudut C EA dan AED,maka jumlah dari sudut C EA dan AED sama dengan dua sudut kanan. Sekali lagi, karena garis lurus DE terletak pada garis lurus AB, membuat sudut AED dan DEB, jumlah sudut AED dan DEB sama dengan dua sudut. Tapi jumlah sudut  CEA dan AED juga ditunjukkan sama dengan dua sudut kanan. Jadi, jumlah sudut CEA dan AED sama dengan (jumlah) AED dan DEB. Biarkan AED dikurangkan dari keduanya. Dengan demikian, sisa CEA sama dengan sisa BED. Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa C EB dan DEA juga sama.

Proposition 16

Untuk setiap segitiga ketika salah satu sisi yang dihasilkan maka sudut eksternal lebih besar dari masing-masing sudut internal dan berlawanan.Biarkan ABC menjadi segitiga, dan biarkan salah satu sisinya BC telah diproduksi ke D. Saya katakan bahwa sudut eksternal AC D lebih besar daripada masing-masing sudut internal dan berlawanan, C BA dan BAC. Garis  lurus AC dipotong setengahnya pada titik E. Dan BE sedang bergabung, biarkan produk itu diproduksi secara lurus ke (titik) F. † Dan biarkan EF dibuat sama dengan BE, dan biarkan F C telah bergabung, dan biarkan AC ditarik ke (titik) G.

Oleh karena itu, AE sama dengan EC, dan BE ke EF, dua (garis lurus) AE, EB masing-masing sama dengan dua (garis lurus) C E, EF. Juga, sudut AEB sama dengan sudut F EC, karena (berlawanan) berlawanan secara vertikal [Prop. 1,15]. Jadi, basis AB sama dengan basis F C, dan segitiga ABE sama dengan segitiga F EC, dan sudut yang tersisa yang disisipkan oleh sisi yang sama sama dengan sudut yang tersisa yang sesuai [Prop. 1.4]. Jadi, BAE sama dengan EC F. Tapi EC D lebih besar dari EC F. Dengan demikian, AC D lebih besar dari BAE. Demikian pula, dengan memotong BC menjadi dua, dapat ditunjukkan (bahwa) BC G-artinya, AC D- (juga) lebih besar dari ABC.

Jadi, untuk setiap segitiga, ketika salah satu sisi dihasilkan, sudut eksternal lebih besar dari masing-masing sudut internal dan berlawanan.

Proposition 17

Untuk setiap segitiga, jumlah dua sudut yang diambil untuk mendapatkan dengan cara apapun kurang dari dua sudut kanan.

Biarkan ABC menjadi segitiga. Saya mengatakan bahwa (jumlah) dua sudut segitiga ABC yang disatukan dalam cara apapun (mungkin) kurang dari dua sudut kanan.

Untuk membiarkan BC ditarik ke D.

Dan karena sudut AC D berada di luar segitiga ABC,

Menyebabkan sudutnya ebih besar dari sudut internal dan berlawanan ABC

Biarkan AC B ditambahkan ke keduanya. Demikian,

(jumlah sudut) AC D dan AC B lebih besar dari

(jumlah sudut) ABC dan BC A. Tapi, (jumlah dari)

AC D dan AC B sama dengan dua sudut kanan [Prop. 1,13].

Jadi, (jumlah) ABC dan BC A kurang dari dua hak, Sudut. Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa (jumlah) BAC dan AC B juga kurang dari dua sudut kanan, dan selanjutnya bahwa jumlah C AB dan ABC kurang dari dua sudut kanan. Jadi, untuk setiap segitiga, jumlah dua sudut yang diambil bersama dengan cara apapun (mungkin) kurang dari dua hak-sudut.

Proposition 18

Dalam setiap segitiga, sisi yang lebih besar bergantung pada sudut yang lebih besar.

Untuk membiarkan ABC menjadi segitiga yang memiliki sisi AC lebih besar dari AB. Maka dapat saya katakan bahwa sudut ABC juga lebih besar dari SM A.

Karena sejak AC lebih besar dari AB, misalkan AD dibuat sama dengan AB dan biarkan BD telah bergabung.

Dan karena sudut ADB berada di luar segitiga BC D, itu lebih besar dari pada internal dan berlawanan sudut DC B.Tapi ADB sama dengan ABD, karena sisi AB juga sama dengan sisi AD. Jadi, ABD juga lebih besar dari AC B. Jadi, ABC jauh lebih besar dari AC B.

Jadi, dalam segitiga mana pun, sisi yang lebih besar menyiratkan sudut yang lebih besar.

Proposisi 19

Dalam setiap segitiga, sudut yang lebih besar tergantung pada sisi yang lebih besar. Misalkan ABC adalah segitiga yang memiliki sudut ABC lebih besar dari BC A. Saya katakan sisi AC juga lebih besar dari sisi AB. Sebab jika tidak, AC tentu sama dengan, atau kurang dari, AB. Padahal, AC tidak sama dengan AB. Untuk kemudian sudut ABC juga sama dengan AC B. Tapi tidak. Dengan demikian, AC tidak sama dengan AB. Baik, memang, AC kurang dari AB. Untuk kemudian sudut ABC juga akan kurang dari AC B [Prop. 1.18]. Tapi tidak. Dengan demikian, AC tidak kalah dari AB. Tapi ternyata itu (AC) tidak sama (dengan AB). Jadi, AC lebih besar dari AB.

Jadi, dalam setiap segitiga, sudut yang lebih besar disamakan oleh sisi yang lebih besar.

Proposition 20

Dalam setiap segitiga, (jumlah) dua sisi yang diambil untuk masuk dengan cara apapun (mungkin) lebih besar daripada yang tersisa (sisi).

Untuk membiarkan ABC menjadi segitiga. Saya katakan bahwa dalam segitiga ABC (jumlah) dua sisi yang disatukan dalam cara apapun (mungkin) lebih besar dari pada yang tersisa (sisi). (Jadi), (jumlah) BA dan AC (lebih besar) dari BC, (jumlah) AB dan BC dari AC, dan (jumlah) BC dan C A dari AB.

Agar BA ditarik ke titik D, dan biarkan AD dibuat sama dengan C A [Prop. 1.3], dan biarkan DC bergabung.

Oleh karena itu, karena DA sama dengan AC, ADC sudut juga sama dengan AC D [Prop. 1.5]. Dengan demikian, BC D lebih besar dari ADC. Dan karena DC B adalah segitiga yang memiliki sudut BC D lebih besar dari BDC, dan sudut yang lebih besar mendekati sisi yang lebih besar [Prop. 1,19], DB lebih besar dari BC. Tapi DA sama dengan AC. Jadi, (jumlah) BA dan AC lebih besar dari SM. Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa (jumlah) AB dan BC juga lebih besar dari C A, dan (jumlah) BC dan C A daripada AB.

Jadi, dalam setiap segitiga, (jumlah) dua sisi yang diambil untuk masuk dengan cara apapun (mungkin) lebih besar daripada yang tersisa (sisi).

Proposition 21

Jika dua garis lurus internal dibangun di salah satu sisi segitiga, dari ujungnya, garis lurus yang dibangun akan kurang dari dua sisi segitiga yang tersisa, namun akan mencakup sudut yang lebih besar.

Karena membiarkan dua garis lurus internal BD dan DC telah dibangun di salah satu sisi SM dari ABC sudut-tri, dari ujungnya B dan C (masing-masing). Saya mengatakan bahwa BD dan DC kurang dari (jumlah) dua sisi belakang dari segitiga BA dan AC, namun mencakup sudut BDC yang lebih besar dari BAC.

Karena membiarkan BD ditarik ke E. Dan karena dalam segitiga (jumlah apapun) dua sisi lebih besar dari pada yang tersisa (sisi) [Prop. 1,20], dalam segitiga ABE (jumlah dari) dua sisi AB dan AE lebih besar dari pada BE. Biarkan EC ditambahkan ke keduanya. Jadi, (jumlah) BA dan AC lebih besar dari (jumlah) BE dan EC. Sekali lagi, karena pada segitiga C ED (jumlah dari) dua sisi C E dan ED lebih besar dari C D, misalkan DB telah ditambahkan ke keduanya. Jadi, (jumlah) C E dan EB lebih besar dari (jumlah) C D dan DB. Tapi, (jumlah) BA dan AC ditunjukkan (menjadi) lebih besar dari (jumlah) BE dan EC. Jadi, (jumlah) BA dan AC jauh lebih besar daripada (jumlah) BD dan DC.

Sekali lagi, karena pada setiap segitiga sudut eksternal lebih besar dari pada internal dan berlawanan (sudut) [Prop. 1,16], pada segitiga C DE sudut luar BDC dengan demikian lebih besar dari C ED. Dengan demikian, untuk hal yang sama (alasan), sudut eksternal C EB dari segitiga ABE juga lebih besar dari BAC. Tapi, BDC ditunjukkan (menjadi) lebih besar dari C EB. Jadi, BDC jauh lebih besar dari BAC.

Jadi, jika dua garis lurus internal dibangun di salah satu sisi segitiga, dari ujungnya, garis lurus yang terstruktur (kurang lurus) kurang dari dua sisi segitiga yang tersisa, namun mencakup sudut yang lebih besar. . (Mana) hal yang harus ditunjukkan.

Read More